数学文化
近日,山东大学数学学院长江学者特聘教授刘建亚做客文学生活馆,主讲经典十课系列之“数学文化”。
开讲前,刘建亚教授向听众提出了两点鼓励性的忠告:第一,不必先成为一位数学家再理解数学的智慧;第二,不必先成为一位数学家再应用数学的智慧。在刘建亚教授深入浅出的讲解中,一场兼具趣味与思想的数学文化之旅拉开了帷幕。
一、数学文化
数学是指研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。数学家的工作是提出概念、猜想,并在适当选定公理和定义的基础上,经过形式逻辑推导出定理。也就是说,数学家的工作是生产定理。
刘建亚教授用金字塔结构图直观地说明数学学科的地位。金字塔的顶端是哲学,往下依次是数学、天文、物理、化学和生物。越趋近顶端的学科越抽象,而越接近底部的学科与现实世界的关联越紧密。数学靠近金字塔顶端,是形而上学,是一门抽象的学问。一言以蔽之,数学是人类文明基本的、重要的组成部分。
数学的基础是数。数本身不存在于自然界中。文化人类学的研究成果显示,人最开始认识到“一”,意味着人们认识到自我的存在。当人们认识“二”,意味着人们认识到有一个与自己相对的外部世界。“三”的哲学意义更为深刻,指人们在交流之后,意识到还有一个独立于交流双方的客体存在。在很多语言中,“三”就是多,譬如“三番五次”指多次。在非洲的一些原始部落,人们能够认识到的最大的数就是三。人类的祖先在认识“一”“二”“三”这些概念时曾遇到过极大的哲学困难。
文化是人类存在与发展的方式。数学文化是指数学存在与发展的方式。狭义而言,数学文化包含数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成与发展;从广义上说,数学文化还包含数学家、数学史、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系等等。
数学不是自然科学。二者在研究方法上有很大的区别。自然科学在研究时需要先做实验,再做归纳。数学也做实验、归纳,但是之后要有一套逻辑演绎的方法证明归纳所得到的结论。
数学家通过实验、归纳得出的结论叫做猜想。猜想需要用逻辑的方法证明,而不是用辩证法、观察法、测量法等方法证明。证明得到的结论叫做定理。自然科学家则不必受此约束,他们有更广泛的论证空间。譬如物理当中的猜想叫做定律,而定律从来没有经过证明。这就足以解释为什么物理学家的理论会被后人推翻而数学不会,因为数学经过了逻辑证明。譬如人们去体检,照透视。大夫在诊断书上写:心肺未见异常。这表示到目前为止心肺未见异常,但也可能有问题。定律,就和“心肺未见异常”一样,永远处在被检验的过程中。这就是定理和定律的区别。
1742年的一天,哥德巴赫激动地写信告知欧拉自己的新发现:所有不小于7的奇数都是三个素数之和,这便是数学史上著名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想用物理语言说即哥德巴赫定律,它由两部分组成,一部分关于奇数,一部分关于偶数。经过数代人近二百年的努力,奇数部分的猜想已经得到证明。1921年,哈代(Hardy)和李特尔伍德(Litterwood)两位剑桥教授根据黎曼假设做出条件性证明。直到1937年,苏联数学家维诺格拉多夫(Vinogradov)实现完整证明。如今,奇数哥德巴赫猜想已被证明是定理,而偶数哥德巴赫猜想仍是定律。
刘建亚教授指出,实验是有危险的,不是所有实验得出的结论都是百分之百正确的,因此不可迷信实验。比如有这样一个猜想:“所有的奇数都是素数。”奇数就是单数,是不能被2整除的数。素数是指大于1的自然数中,除了1和它本身不再有其他因数的数。如果用实验的方法证明该定律,可以发现奇数3是素数,5是素数,7是素数,但是9是奇数而非素数。自然科学家到此会略过,继续实验发现11是素数,13也是素数……于是声称在6次实验中,有5次实验的结果支持定律,1次实验失败。由此证明,所有的奇数都是素数。当然,这是数学家笑话物理学家的笑谈,但是它揭露了自然科学的本质。
二、数学文化的传播
高斯说:“数学是科学的女王。”数学是有形象的,其形象首先是真。自然科学的真理性基于数学的真理性之上,假如数学出错,自然科学也会随之出错。其次,数学的形象是善。善指对他人有用。从这个层面上说,数学也是科学的“女佣”。再次,数学的形象是美。罗素在论述数学之美时说:“这是极其纯净的美,只有这个最伟大的艺术才能显示出最严格的完美。”对数学了解越深入的人,对数学之美的体会也越深刻。
刘建亚教授强调,数学文化不能简化为数学家的才艺表演。他以四层境界说为例,说明数学文化的深刻程度。第一层,有个数学家临摹了“阔浦遥山图”;第二层,有个画家为数学家画了肖像;第三层,有个数学家为另一个数学家画了肖像;第四层,有个数学家画了肖像或漫画,从而阐释了他一生最得意的数学思想与数学工作。显然,境界层次越高,越富有价值和意义。
数学文化传播的途径可谓“内行看门道,外行看热闹”。“门道”指的是数学本身,“热闹”指的是与数学相关的一切数学文化。数学文化传播的一手途径是数学家,二手传播主要是数学评论家,此外还有N手传播。
一手传播最为关键。传播者必须是数学家本人。数学家在从事数学研究的同时,阐释数学文化,比如数学思想、数学史以及数学与其他科学之间的联系等。刘建亚教授将一手传播的特点总结为画龙点睛、春秋笔法。譬如维诺格拉多夫画了两幅漫画来介绍自己解决奇数哥德巴赫猜想的过程,尤其强调了他的研究思想与哈代的区别。第一幅画了4个人,有标注为“哥德巴赫”的绅士,有标注为“哥德巴赫猜想”的美女,有标注为“哈代”的钻进美女裙底,最后一个标注为“维诺格拉多夫”,在美女后面研究怎么解下裙子,这样便把事物彼此间的关系勾络得十分清楚,也指出哈代虽然对问题研究得深入,但是不得要领。第二幅画里“哈代”不见了,美女“哥德巴赫猜想”变成裸体,裙子则在“维诺格拉多夫”手里——所谓生动翔实,不外如是。刘建亚教授指出,做好一手传播是每一个数学人应尽的义务。
2010年,刘建亚教授感慨于数学正在沦落成一门手艺,为重新强调数学自身的思想意义和文化意义,他联合好友汤涛创办《数学文化》杂志。杂志打造了一个数学家谈数学文化的平台,致力于一手的和二手的数学文化传播。杂志设立七大栏目:数学人物、数学史林、数学学烟云、数学趣谈、数学经纬、数学教育、好书推荐。杂志为季刊,全部文章皆系原创。
三、数学文化人
刘建亚教授从四个方面分析数学对人的影响。第一,数学给人以强大的思想力,因为只有数学能处理无穷。上下四方曰宇,古往今来谓宙。根据宇宙学的最新研究成果,宇宙是有限的,但是数学却能处理无穷。
第二,数学使人周密。培根在《论说文集》中写道:“读史使人明智,读诗使人灵秀,数学使人周密,科学使人深刻,伦理学使人庄重,逻辑修辞使人善辩,凡有所学,皆成性格。”
第三,数学使人独立。数学本质上是数学人与自己的上帝之间的对话。数学家即康德所言“仰望星空的人”。因此,数学家处在社会的边缘,他们所做的事并不为公众所理解,他们不是政治家,不是商人,而是小众。例如,拉格朗日和拉普拉斯是两位数学家,也是两位天体力学家,两人都写过关于天体力学方面的著作。拿破仑是两人的好朋友,曾问过两人同一句话:“在你关于宇宙体系的书中,怎么竟然没有提到上帝?”这个问题非常危险。拉格朗日性格比较温和,回答道:“引入这个假设,我们将会得出许多更有趣的结论。”而拉普拉斯直接说道:“我不需要这个假设。”可见数学家是很独立的。
第四,数学使人不器。子曰:“君子不器。”数学是思想,而不是工具。刘建亚教授认为数学是“不器之学”。学习“不器之学”的人,也更容易成为“不器之人”。“君子不器”,是指君子不应该成为某种器具,成为某种达成功利的手段,所以君子“志于道”,以追求真理作为终极目的。与之相似,康德也说过:“人必须成为自身的目的,而非人之外事物的手段。”数学也要成为自身的目的,研究者为了研究数学而研究数学。刘建亚教授强调,数学有其独立于应用之外的哲学意义和文化意义,且数学独立的哲学意义和文化意义也足以使之成为人类文明基本的、重要的组成部分。
讲座末尾,刘建亚教授分享了罗素、开尔文、爱因斯坦、达尔文四位科学家对于数学的深刻评价,进一步突显数学的意义。(整理:李奕玮 王冰雅)